Question

12．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），M（6，4），N（8，8），动点P从点A出发，沿y轴以每秒2个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y=-x+b也随之移动，设移动时间为t秒．
（1）当t=3时，求l的解析式；
（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；
（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．

Answer 1

分析 （1）由动点P从点A出发，沿y轴以每秒2个单位长度的速度向上移动，结合t=3可求出此时点P的坐标，根据点P的坐标利用待定系数法即可得出结论；
（2）根据点M、N，分别利用待定系数法求出直线l过点M和过点N时，点P的坐标，再根据“时间t=（点P的纵坐标-2）÷2”即可得出时间t，由此即可得出结论；
（3）令点M关于l的对称点为M′，分点M′在x轴上和点M′在y轴上两种情况考虑，根据等腰直角三角形的以及轴对称图形的性质即可找出点P的坐标，由此即可得出时间t的值．

解答 解：（1）当t=3时，P（0，8），
将点P（0，8）代入y=-x+b中，得：b=8，
∴直线l的解析式为y=-x+8．
（2）将点M（6，4）代入y=-x+b中，得：4=-6+b，解得：b=10，
此时P（0，10），t=$\frac{10-2}{2}$=4；
将点N（8，8）代入y=-x+b中，得：8=-8+b，解得：b=16，
此时P（0，16），t=$\frac{16-2}{2}$=7．
故当点M，N位于l的异侧时，时间t的取值范围为4＜t＜7．
（3）点M关于l的对称点M′落在坐标轴上分两种情况：
①当点M′在x轴上时，△MBM′为等腰直角三角形，
∵M（6，4），
∴B（6，0），
∴直线l：y=-x+6，
∴P（0，6），此时时间t=$\frac{6-2}{2}$=2；
②当点M′在y轴上时，△MBM′为等腰直角三角形，
∵M（6，4），
∴B（6，-2），
∴直线l：y=-x+4，
∴P（0，4），此时时间t=$\frac{4-2}{2}$=1．
综上可知：当时间t为1秒或2秒时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的性质以及轴对称图形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）分别求出点M、N在直线l上时的时间t值；（3）分点M′在x轴、y轴上两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键．