Question

4．证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
已知：如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F．
求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P
证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点，
∴PB=PA（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）．
同理可得，PB=PC．
∴PA=PC（等量代换）．
∴点P在AC的垂直平分线上，（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P，且PA=PB=PC．

Answer 1

分析 根据线段垂直平分线的性质可得出PB=PA，同理可得出PA=PC，由此即可得出PA=PC，再根据线段垂直平分线的性质可得出点P是AC边垂直平线上的一点，从而证出结论．

解答 证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点，
∴PB=PA （垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）．
同理可得，PB=PC．
∴PA=PC（等量代换）．
∴点P是AC边垂直平线上的一点（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P，且PA=PB=PC．
故答案为：PB；PA；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PC；PA；PC；点P在AC的垂直平分线上，垂直平分线上；PA=PB=PC．

点评 本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是找出点P是AC边垂直平线上的一点．解决该题型题目时，根据线段垂直平分线的性质找出相等的线段是关键．