Question

12．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D．
（1）求证：∠CAD=∠BAC．
（2）若∠CAD=30°，AD=2，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，可证明AD∥OC，可求得∠OCA=∠CAD，再由OC=OA可得∠OCA=∠BAC，可证得结论；
（2）由（1）可求得∠BAC=30°，在Rt△ACD中可求得AC，在Rt△ACB中可求得BC．

解答 （1）证明：
连接OC，如图，

∵EF是⊙O的切线，
∴OC⊥EF，
∵AD⊥EF，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠CAD，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠BAC，
∴∠CAD=∠BAC；
（2）解：
∵AD⊥EF，∠CAD=30°，AD=2，
∴AC=2AD=4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
由（1）可知∠BAC=∠CAD=30°，
∴AB=2AC=8，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得BC=4$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径垂直切线是解题的关键．