Question

14．认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5-3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5-0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a-b|．
（1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、-2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x-1|（用含绝对值的式子表示）．
（2）利用数轴探究：①找出满足|x-3|+|x+1|=6的x的所有值是-2，4，②设|x-3|+|x+1|=p，当x的值取在不小于-1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是4；当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，|x|+|x-2|取得最小值，这个最小值是2．
（3）求|x-3|+|x-2|+|x+1|的最小值为4，此时x的值为2．
（4）求|x-3|+|x-2|+|x+1|+|x+2|的最小值，求此时x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据两点间的距离公式，可得答案；
（2）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值；
（3）：|x-3|+|x-2|+|x+1|=（|x-3|+|x+1|）+|x-2|，根据问题（2）中的探究②可知，要使|x-3|+|x+1|的值最小，x的值只要取-1到3之间（包括-1、3）的任意一个数，要使|x-2|的值最小，x应取2，显然当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式计算即可；
（4）根据两点间的距离公式，点在线段上，可得答案．

解答 解：（1）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x-1|；
（2）①满足|x-3|+|x+1|=6的x的所有值是-2、4，
②这个最小值是4；当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，|x|+|x-2|取得最小值，这个最小值是2；
（3）由分析可知，
当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式=1+0+3=4；
（4）|x-3|+|x-2|+|x+1|+|x+2|=（|x-3|+|x+2|）+（|x-2|+|x+1|）
要使|x-3|+|x+2|的值最小，x的值取-2到3之间（包括-2、3）的任意一个数，要使|x-2|+|x+1|的值最小，x取-1到2之间（包括-1、2）的任意一个数，显然当x取-1到2之间（包括-1、2）的任意一个数能同时满足要求，不妨取x=0代入原式，得|x-3|+|x-2|+|x+1|+|x+2|=3+2+1+2=8；   
方法二：当x取在-1到2之间（包括-1、2）时，|x-3|+|x-2|+|x+1|+|x+2|=-（x-3）-（x-2）+（x+1）+（x+2）=-x+3-x+2+x+1+x+2=8．
故答案为：|x+2|+|x-1|；-2，4；4；不小于0且不大于2；2；4，2．

点评 本题考查了绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键．