Question

19．阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，1+2+3+…10=？
经过研究，这个问题的一般结论是1+2+3+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1），其中n是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？
观察下面三个特殊的等式：
1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）
2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）
3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20
读完这段材料，请你计算：
（1）1×2+2×3+…+100×101
（2）1×2+2×3+…+n（n+1）
（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）

Answer 1

分析 （1）根据题目中的信息可以解答本题；
（2）根据题目中的信息可以解答本题；
（3）根据题目中的信息，运用类比的数学思想可以解答本题．

解答 解：（1）1×2+2×3+…+100×101
=$\frac{1}{3}×100×101×102$
=343400；
（2）1×2+2×3+…+n（n+1）=$\frac{1}{3}n（n+1）（n+2）$；
（3）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）
=$\frac{1}{4}（1×2×3×4-0×1×2×3）$+$\frac{1}{4}（2×3×4×5-1×2×3×4）$+…+$\frac{1}{4}$[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]
=$\frac{1}{4}$n（n+1）（n+2）（n+3）．

点评 本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．