Question

5．如图，∠AOB=90°，OA=OB，OP是∠AOB内可以绕着点O自由转动的一条射线，分别过点A、B作AE⊥OP、BF⊥OP，垂足分别为点E、F，假设OP从OB出发，绕着点O逆时针转动到OA（OP不与OB、OA重合），转动的角度为α．
（1）当0°＜α＜45°时，线段AE、BF、EF的长度有怎样的数量关系？为什么？
（2）当45°＜α＜90°时，线段AE、BF、EF的长度又有怎样的数量关系？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据AE⊥OP，BF⊥OP，求证∠BOF+∠B=90°，可得∠AOF=∠B，再利用（AAS）求证△BOF≌△OAE，即可得出答案；
（2）根据AE⊥OP，BF⊥OP，求证∠BOF+∠B=90°，可得∠AOF=∠B，再利用（AAS）求证△BOF≌△OAE，即可得出答案．

解答 解：（1）AE-BF=EF，
理由是：∵AE⊥OP，BF⊥OP，
∴∠AEO=∠BFO=90°，
∴∠BOF+∠B=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOF+∠AOF=90°
∴∠AOF=∠B，
在△BOF和△OAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠BFO}\\{∠AOE=∠B}\\{AO=BO}\end{array}\right.$
∴△BOF≌△OAE（AAS）
∴OE=BF，OF=AE，
∵OF-OE=EF，
∴AE-BF=EF；


（2）BF-AE=EF，
理由是：∵AE⊥OP，BF⊥OP，
∴∠AEO=∠BFO=90°，
∴∠BOF+∠B=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOF+∠AOF=90°
∴∠AOF=∠B，
在△BOF和△OAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEC=∠BFO}\\{∠AOE=∠B}\\{AO=BO}\end{array}\right.$
∴△BOF≌△OAE（AAS）
∴OE=BF，OF=AE，
∵OE-OF=EF，
∴BF-AE=EF．

点评 本题考查了垂直定义，全等三角形的性质和判定的应用，能求出△BOF≌△OAE是解此题的关键，证明过程类似．