Question

14．如图，在半径为r的⊙O中，E是劣弧AB的中点，C为优弧AB上的一动点，连EC交AB于点F，EB=$\frac{r}{2}$．
（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切．
（2）证明：EF•EC为定值．

Answer 1

分析 （1）连接OC、OE，OE交AB于H，如图1，由E是弧AB的中点，根据垂径定理的推论得到OE⊥AB，则∠HEF+∠HFE=90°，由对顶角相等得∠HFE=∠CFD，则∠HEF+∠CFD=90°，再由DC=DF得∠CFD=∠DCF，加上∠OCE=∠OEC，所以∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，于是根据切线的判定定理得直线DC与⊙O相切；
（2）连接BC，由$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，根据圆周角定理得到∠ABE=∠BCE，证出△EBF∽△ECB，利用相似比得到EF•EC=$\frac{{r}^{2}}{4}$即可．

解答 （1）证明：连结OC、OE，OE交AB于H如图1所示：
∵E是弧AB的中点，
∴OE⊥AB，
∴∠EHF=90°，
∴∠HEF+∠HFE=90°，
∵∠HFE=∠CFD，
∴∠HEF+∠CFD=90°，
∵DC=DF，
∴∠CFD=∠DCF，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，
∴OC⊥CD，
∴直线DC与⊙O相切；
（2）证明：连结BC，如图2所示：
∵E是弧AB的中点，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，
∴∠ABE=∠BCE，
∵∠FEB=∠BEC，
∴△EBF∽△ECB，
∴EF：BE=BE：EC，
∴EF•EC=BE²=（$\frac{r}{2}$）²=$\frac{{r}^{2}}{4}$；
即EF•EC为定值．

点评 本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理等知识；熟练掌握垂径定理及其推论、切线的判定定理和圆周角定理并利用相似三角形的性质是解决问题的关键．