数学课堂上.老师出一道试题:(1)如图1.在正三角形ABC中.M是BC边上任意一点.P是BC延长线上一点.N是∠ACP的平分线上一点．若∠AMN=60°.求证:AM=MN．(2)若将试题中的“正三角形ABC 改为“正方形A1B1C1D1 (图2).N1是∠D1CP1的分线上一点.则当∠A1M1N1=90°时.结论A1M1=M1N1是否还成立?(3)若将题中的“正三角形ABC 改� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

数学课堂上，老师出一道试题：
（1）如图1，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点．若∠AMN=60°，求证：AM=MN．
（2）若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A₁B₁C₁D₁”（图2），N₁是∠D₁CP₁的分线上一点，则当∠A₁M₁N₁=90°时，结论A₁M₁=M₁N₁是否还成立？
（3）若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形A_nB_nC_nD_n…X_n”，请你猜想：当∠A_nM_nN_n=

时，结论A_nM_n=M_nN_n仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）在AB上截取EA=MC，连接EM，得△AEM，求出∠2=∠1，∠5=∠MCN，根据ASA推出△AEM≌△MCN即可；
（2）在A₁B₁上借钱A₁E=M₁C₁，求出∠M 1 C₁N₁=∠5，∠1=∠2，根据ASA推出△A₁EM₁≌△M₁C₁N₁即可；
（3）根据∠AMN=60°=

3-2

×180°，∠A₁M₁N₁=90°=

4-2

×180°即可得出∠A_nM_nN_n=

n-2

×180°．

解答：（1）证明：在AB上截取EA=MC，连接EM，得△AEM，
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2．
又∵CN平分∠ACP，∠4=

∠ACP=60°，
∴∠MCN=∠3+∠4=120°…①
又∵BA=BC，EA=MC，
∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM，
∴△BEM为等边三角形，
∴∠6=60°，
∴∠5=180°-∠6=120°，
∴由①②得∠MCN=∠5．
在△AEM和△MCN中，

∠2=∠1

AE=MC

∠5=∠MCN

，
∴△AEM≌△MCN （ASA），
∴AM=MN．

（2）解：结论A₁M₁=M₁N₁还成立．
理由是：如图2，在A₁B₁上借钱A₁E=M₁C₁，
∵四边形A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴A₁B₁=B₁C₁，∠B₁=∠D₁C₁B₁=∠D₁C₁P=90°，
∵A₁E=M₁C₁，
∴B₁E=B₁M₁，
∴∠6=45°，
∴∠5=135°，
∵∠M 1 C₁N₁=90°+45°=135°=∠5，
∵∠1=180°-∠A₁MB₁-∠A₁M₁N₁，∠2=180°-∠A₁M₁B₁-∠B₁，∠A₁M₁N₁=∠B₁=90°，
∴∠1=∠2，
在△A₁EM₁和△M₁C₁N₁中

∠2=∠1

A1E=M1C1

∠5=∠M1C 1N1