题目内容
点M在△ABC的BC的边上，把以点M为圆心的⊙M称之为△ABC的伴随圆．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=8，M是BC边的中点．
（1）如图1，当MN⊥BC交AC于点N时，求线段MN的长；
（2）如图2，当△ABC的伴随圆⊙M与△ABC一边相切时，求出他们重叠部分的面积；
（3）如图3，设伴随圆⊙M的半径为R，请直接写出△ABC的边与⊙M的公共点个数所有可能的情况，并写出相应的R的取值范围．
（1）如图1，当MN⊥BC交AC于点N时，求线段MN的长；
（2）如图2，当△ABC的伴随圆⊙M与△ABC一边相切时，求出他们重叠部分的面积；
（3）如图3，设伴随圆⊙M的半径为R，请直接写出△ABC的边与⊙M的公共点个数所有可能的情况，并写出相应的R的取值范围．
考点：圆的综合题
专题：
分析：（1）求出BC的长度，进而求出MC的长度；证明△ABC∽△MNC，列出比例式即可解决问题．
（2）按照分类讨论的数学思想，分别求出当⊙M与AC、AB相切时⊙M的半径长，即可解决问题．
（3）根据直线和圆相切、相离、相交时，圆心到直线的距离d和圆的半径λ之间的数量关系，来逐一判断，即可解决问题．
（2）按照分类讨论的数学思想，分别求出当⊙M与AC、AB相切时⊙M的半径长，即可解决问题．
（3）根据直线和圆相切、相离、相交时，圆心到直线的距离d和圆的半径λ之间的数量关系，来逐一判断，即可解决问题．
解答：解：（1）如图1，
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=8，
∴BC2=42+82=80，
∴BC=4
，而点M为BC的中点，
∴MC=2
；
∵MN⊥BC，
∴∠NMC=∠A=90°，而∠C=∠C，
∴△ABC∽△MNC，
∴
=
，而AB=4，AC=8，MC=2
，
∴MN=
．
（2）如图2，当⊙M与AC边相切于点D时，连接MD，
则MD⊥AC；而AB⊥AC，
∴MD∥AB，而BM=CM，
∴AD=CD，MD为△ABC的中位线，
∴MD=
AB=2，此时⊙M与△ABC重叠部分的面积
=
π•MD2=2π；
当⊙M与AB边相切于点E时，连接ME，
同理可求出ME=4，此时⊙M与△ABC重叠部分的面积
=
π•ME2=8π．
（3）设⊙M的半径为λ，
则△ABC的边与⊙M的公共点个数所有可能的情况如下：
当0＜λ＜2时，有2个公共点；
当2≤λ＜4时，有3个公共点；
当λ=4时，有5个公共点；
当4＜λ＜2
时，有6个公共点；
当λ=2
时，有3个公共点；
当λ＞2
时，有没有公共点；
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=8，
∴BC2=42+82=80，
∴BC=4
| 5 |
∴MC=2
| 5 |
∵MN⊥BC，
∴∠NMC=∠A=90°，而∠C=∠C，
∴△ABC∽△MNC，
∴
| AB |
| MN |
| AC |
| MC |
| 5 |
∴MN=
| 5 |
（2）如图2，当⊙M与AC边相切于点D时，连接MD，
则MD⊥AC；而AB⊥AC，
∴MD∥AB，而BM=CM，
∴AD=CD，MD为△ABC的中位线，
∴MD=
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
当⊙M与AB边相切于点E时，连接ME，
同理可求出ME=4，此时⊙M与△ABC重叠部分的面积
=
| 1 |
| 2 |
（3）设⊙M的半径为λ，
则△ABC的边与⊙M的公共点个数所有可能的情况如下：
当0＜λ＜2时，有2个公共点；
当2≤λ＜4时，有3个公共点；
当λ=4时，有5个公共点；
当4＜λ＜2
| 5 |
当λ=2
| 5 |
当λ＞2
| 5 |
点评：该题以直角三角形和圆为载体，在重点考查直线和圆的位置关系的判定及其性质应用的同时，还渗透了对勾股定理、相似三角形的判定及其性质的应用等几何知识点的考查；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
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