Question

14．如图，抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当x取何值时，抛物线的函数值大于零；
（3）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由于抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；
（2）由抛物线解析式求出B点的坐标，根据图象，即可得出结果；
（3）由于点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，把D的坐标代入（1）中的解析式即可求出m，然后利用对称就可以求出关于直线BC对称的点的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-4a=0}\\{-4a=4}\end{array}\right.$，
解之得：a=-1，b=3，
∴y=-x²+3x+4；
（2）当y=0时，-x²+3x+4=0，
解得：x=-1，或x=4，
∴B（4，0），
由二次函数的图象得：当-1＜x＜4，y＞0，
即-1＜x＜4时，抛物线的函数值大于零；
（3）如图所示：
∵点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，
∴把D的坐标代入（1）中的解析式得：
m+1=-m²+3m+4，
解得：m=3或m=-1（舍去），
∴m=3，
∴D（3，4），
∵y=-x²+3x+4=0，x=-1或x=4，
∴B（4，0）
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠CBA=45°
设点D关于直线BC的对称点为点E，
∵C（0，4）
∴CD∥AB，且CD=3
∴∠ECB=∠DCB=45°
∴E点在y轴上，且CE=CD=3
∴OE=1
∴E（0，1）
即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）．

点评 此题考查了待定系数求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、对称点的坐标等知识；本题综合性强，有一定难度，由待定系数法求出抛物线的解析式是解决问题的关键．