Question

5．已知抛物线p：y=ax²+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“关联”抛物线，直线AC′为抛物线p的“关联”直线．若一条抛物线的“关联”抛物线和“关联”直线分别是y=x²+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为y=x²-2x-3．

Answer 1

分析 先求出y=x²+2x+1和y=2x+2的交点C′的坐标为（1，4），再求出“关联”抛物线y=x²+2x+1的顶点A坐标（-1，0），接着利用点C和点C′关于x轴对称得到C（1，-4），则可设顶点式y=a（x-1）²-4，然后把A点坐标代入求出a的值即可得到原抛物线解析式．

解答 解：∵y=x²+2x+1=（x+1）²，
∴A点坐标为（-1，0），
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x+1}\\{y=2x+2}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴点C′的坐标为（1，4），
∵点C和点C′关于x轴对称，
∴C（1，-4），
设原抛物线解析式为y=a（x-1）²-4，
把A（-1，0）代入得4a-4=0，解得a=1，
∴原抛物线解析式为y=（x-1）²-4=x²-2x-3．
故答案为：y=x²-2x-3．

点评 本题考查了二次函数与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．