Question

4．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若AD=3，DE=2，则AC=（　　）

• A． $\frac{21}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{15}}{2}$
• C． $\frac{9}{2}$
• D． $\sqrt{15}$

Answer 1

分析 先由勾股定理求出AE=$\sqrt{5}$，再根据△BDE∽△DAE，得出$\frac{BE}{DE}$=$\frac{DE}{AE}$，求出BE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，然后由△BDE∽△BCA，得出$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$，代入数值计算即可求出AC的值．

解答 解：在△ADE中，∵∠AED=90°，AD=3，DE=2，
∴AE=$\sqrt{5}$，
在△BDE与△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ADE=90°-∠BDE}\\{∠BED=∠DEA=90°}\end{array}\right.$，
∴△BDE∽△DAE，得
∴$\frac{BE}{DE}$=$\frac{DE}{AE}$，
∴BE=$\frac{2×2}{\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∵∠BAC=90°，DE⊥AB于E，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$，即$\frac{2}{AC}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\frac{9\sqrt{5}}{5}}$，
∴AC=$\frac{9}{2}$．
故选C．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，求出AE与BE的长是解题的关键．