如图.在△ABC中.AB=AC=5.BC=6.P.Q两点同时从点A出发.点P沿AC边运动.速度为每秒1个单位:点Q沿A→C→B运动.速度为每秒2个单位.以PQ为边.在PQ左侧作正方形PQRS(P.Q.R.S按顺时针方向标记)．设点P的运动时间为t(秒).正方形PQRS与△ABC的重叠部分的面积为S．(1)求tanC的值．(2)求点R在BC边上时t的值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P、Q两点同时从点A出发，点P沿AC边运动，速度为每秒1个单位：点Q沿A→C→B运动，速度为每秒2个单位，以PQ为边，在PQ左侧作正方形PQRS（P、Q、R、S按顺时针方向标记）．设点P的运动时间为t（秒），正方形PQRS与△ABC的重叠部分的面积为S（平方单位）．
（1）求tanC的值．
（2）求点R在BC边上时t的值．
（3）当0＜t＜2.5时，求S与t之间的函数关系式．
（4）当0＜t＜5时，直接写出点R在△ABC内部的t的取值范围．

分析（1）如图1中，作AD⊥BC于D，在Rt△ADC中，求出AD即可解决问题；
（2）分两种情形①如图2中，当Q在AC上时，R在BC上．②如图3中，当Q在BC上时，R在BC上．分别求解即可；
（3）当0＜t＜$\frac{20}{11}$时，S=t²，当$\frac{20}{11}$＜t＜2，5时，S=t²-$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$[t-$\frac{4}{3}$（5-2t）]²=-$\frac{97}{24}$t²+$\frac{55}{3}$t-$\frac{50}{3}$；
（4））①由（2）可知当0＜t＜$\frac{20}{11}$时，点R在△ABC内部；
②如图4中，当点R在AB上，点Q在BC上时，作RH⊥BC于H，PD⊥BC于D．求出此时t的值即可解决问题；

解答解：（1）如图1中，作AD⊥BC于D．

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=3，
在Rt△ADC中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-D{C}^{2}}$=$\sqrt{25-9}$=4，
∴tanC=$\frac{AD}{DC}$=$\frac{4}{3}$．

（2）①如图2中，当Q在AC上时，R在BC上．

易知CQ=5-2t，QP=QR=t，
∴tanC=$\frac{RQ}{CQ}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{t}{5-2t}$=$\frac{4}{3}$，
∴t=$\frac{20}{11}$．
②如图3中，当Q在BC上时，R在BC上．

易知QC=2t-5，PC=5-t，
cosC=$\frac{QC}{PC}$=$\frac{3}{5}$，
∵$\frac{2t-5}{5-t}$=$\frac{3}{5}$，
∴t=$\frac{40}{13}$，
综上所述，点R在BC上时，t的值为$\frac{20}{11}$s或$\frac{40}{13}$s．

（3）当0＜t＜$\frac{20}{11}$时，S=t²，
当$\frac{20}{11}$＜t＜2，5时，S=t²-$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$[t-$\frac{4}{3}$（5-2t）]²=-$\frac{97}{24}$t²+$\frac{55}{3}$t-$\frac{50}{3}$．

（4）①由（2）可知当0＜t＜$\frac{20}{11}$时，点R在△ABC内部．
②如图4中，当点R在AB上，点Q在BC上时，作RH⊥BC于H，PD⊥BC于D．

易证△QRH≌△QPD，可得PD=HQ=$\frac{4}{5}$（5-t），QD=PH=2t-5-$\frac{3}{5}$（5-t），BH=6-HQ-QC=6-$\frac{4}{5}$（5-t）-（2t-5），
在Rt△BRH中，tanB=$\frac{RH}{BH}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{2t-5-\frac{3}{5}（5-t）}{6-\frac{4}{5}（5-t）-（2t-5）}$=$\frac{4}{3}$，
解得t=$\frac{260}{63}$，
观察图象可知，$\frac{40}{13}$＜t＜$\frac{260}{63}$时，点R在△ABC内部
综上所述，点R在△ABC内部时，0＜t＜$\frac{20}{11}$或$\frac{40}{13}$＜t＜$\frac{260}{63}$．