Question

18．在精准对口扶贫活动中，甲单位将经营状况良好的某种专卖店以5.8万元的优惠价转让给了尚有5万元无息贷款还没有偿还的乙户，并约定从该店经营的利润中，首先保证乙户的一家人每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计利息）．从甲单位提供的相关资料中可知这种消费品的进价是每件14元；月销售量Q（百件）与销售单价P（元）的关系如图所示；维持的正常运转每月需工资外的各种开支2000元．
（1）写出月销售量Q（百件）与销售单价P（元）的函数关系式．
（2）当商品的销售单价为多少元时，扣除一家人最低生活费后的月利润余额最大？
（3）乙户依靠该店，最早可望在几年内脱贫？

Answer 1

分析 （1）代入点（20，10）（30，5）即可求得Q与P的函数关系式；
（2）月利润为W，可得出W关于P的二次函数，即可解题；
（3）根据（2）中结论，根据每月都是最大利润时脱贫需要月份即可解题．

解答 （1）由图象可知，月销售量Q（百件）与销售单价P（元）是一次函数关系，设Q=Px+b，
则代入（20，10）（30，5），可得$\left\{\begin{array}{l}{10=20P+b}\\{5=30P+b}\end{array}\right.$，
解得：P=-$\frac{1}{2}$，b=20，
∴月销售量Q（百件）与销售单价P（元）的函数关系式为Q=-$\frac{1}{2}$P+20；
（2）设月利润为W，则有W=100 Q（P-14）-（2000+3600）
=100（-$\frac{1}{2}$P+20）（x-14）-（2000+3600）
=-50P²+2700P-33600，
当P=-$\frac{2700}{2×（-50）}$=27时，W有最大值；
∴当销售单价为27元时，月利润余额最大；
（3）设x 年内可脱贫，由（2）知当P=27时，W有最大值为2850，
当月利润为2850元时，需要2850×12x≥50000+58000，
解得：x≥3.2，
∴乙户依靠该店，最早可望在3.2年内脱贫．

点评 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大月利润的问题常利用二次函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．