Question

8．某公司要生产960件新产品，准备让A、B两厂生产，己知先由A厂生产30天，剩下的B厂生产20天可完成，共需支付工程款81000元；若先由B厂生产30天，剩下的A厂可用15天完成，共需支付工程款81000元．
（1）求A、B两厂单独完成各需多少天；
（2）若公司可以由一个厂完成，也可由两厂合作完成，但为保证质量，加工期间公司需派一名技术员到现场指导（若两厂同时生产也只需派一名），每天需支付这名技术员工资及午餐费120元，从经费考试应怎样安排生产，公司花费最少的金额是多少？

Answer 1

分析 （1）设A厂单独完成需要x天，B厂单独完成需要y天，根据“先由A厂生产30天，剩下的B厂生产20天可完成，或先由B厂生产30天，剩下的A厂可用15天完成”，即可得出关于$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{y}$的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设选择A厂每天需付的工程款为m元，选择B厂每天需付的工程款为n元，根据“先由A厂生产30天，剩下的B厂生产20天可完成，共需支付工程款81000元；若先由B厂生产30天，剩下的A厂可用15天完成，共需支付工程款81000元”，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可得出m、n的值，依此可求出A、B两厂单独完成所需费用，设两厂合作完成，A厂生产a天，所需总费用为w元，则B厂生产（40-$\frac{2}{3}$a）天，根据总费用=工程费+技术员工资及午餐费，即可得出w关于a的函数关系式，根据一次函数的性质即可求出w的最小值，再将其与88200、85800比较后即可得出结论．

解答 解：（1）设A厂单独完成需要x天，B厂单独完成需要y天，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{30}{x}+\frac{20}{y}=1}\\{\frac{30}{y}+\frac{15}{x}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}=\frac{1}{60}}\\{\frac{1}{y}=\frac{1}{40}}\end{array}\right.$，
∴x=60，y=40，
经检验，x=60、y=40符合题意．
答：A厂单独完成需要60天，B厂单独完成需要40天．
（2）设选择A厂每天需付的工程款为m元，选择B厂每天需付的工程款为n元，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{30m+20n=81000}\\{15m+30n=81000}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1350}\\{n=2025}\end{array}\right.$，
∴选择A厂每天需付的工程款为1350元，选择B厂每天需付的工程款为2025元．
∴A厂单独完成需要费用为（1350+120）×60=88200（元），
B厂单独完成需要费用为（2025+120）×40=85800（元）．
设两厂合作完成，A厂生产a天，所需总费用为w元，则B厂生产（40-$\frac{2}{3}$a）天，
根据题意得：当a≤40-$\frac{2}{3}$a，即a≤24时，w=1350a+2025（40-$\frac{2}{3}$a）+120×（40-$\frac{2}{3}$a）=-80a+85800，
此时，当a=24时，w取最小值，最小值为83880；
当a≥40-$\frac{2}{3}$a，即a≥24时，w=1350a+2025（40-$\frac{2}{3}$a）+120×a=120a+81000，
此时，当a=24时，w取最小值，最小值为83880．
∵88200＞85800＞83880，
∴A、B两厂每厂生产24天时，公司花费最少，最少金额为83880元．

点评 本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，找出w关于a的函数关系式．