Question

13．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a-3b+c＞0；（3）4a+2b＞m（am+b），（m≠2的实数）（4）若方程a（x+1）（x-5）=-3的两根为x₁和x₂，且x₁＜x₂，则x₁＜-1＜5＜x₂．其中正确的结论有（　　）个．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根据对称轴可判断（1），根据当x=-3时y＜0可判断（2），根据函数的最值可判断（3），利用二次函数与二次方程关系可判断（4）．

解答 解：∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=2，
∴b=-4a＞0，即4a+b=0，所以（1）正确；

∵x=-3时，y＜0，
∴9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以（2）错误；

由图象知，当x=2时y取得最大值，最大值y=4a+2b+c，
∵m≠2的实数，
∴当x=m时，y=am²+bm+c＜4a+2b+c，即4a+2b＞m（am+b），所以（3）正确；


∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=2，图象与x轴交于（-1，0），
∴抛物线x轴的另一个交点是（5，0），
则抛物线y=ax²+bx+c=a（x+1）（x-5），
如图所示：

方程a（x+1）（x-5）=-3的两根可看做抛物线y=a（x+1）（x-5）与直线y=-3交点的横坐标，
由图象可知x₁＜-1＜5＜x₂，所以（4）正确；
故选：B．

点评 本题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，③常数项c决定抛物线与y轴交点，④抛物线与x轴交点个数是解题的关键．