Question

18．已知函数y=$k（x-\frac{2}{k}）（x+2）（k≠0）$．
（1）|k|=2，请画出符合条件的函数图象；
（2）k的值分别取k₁，k₂时，得到两个函数${y}_{1}{=}_{{k}_{1}}（x-\frac{2}{{k}_{1}}）（x+2）$，${y}_{2}{=}_{{k}_{2}}（x-\frac{2}{{k}_{2}}）（x+2）$，其中k₁＜k₂且k₁+k₂=0，y₂的图象是由y₁的图象经过怎样的变换得到的；
（3）在（2）的条件下，请求出当y₁＜y₂时，x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值定义得：k=±2，代入抛物线解析式中画图即可；
（2）根据已知k₁＜k₂且k₁+k₂=0，得：k₂=-k₁，分别求出y₁和y₂的顶点坐标和与x轴的交点坐标，根据|k₁|=|k₂|可知，y₁与y₂的开口大小相同，方向相反，可得结论；
（3）由两函数与x轴的交点可知：都过（-2，0），将x=0代入，y=-4，所以过（0，-4），根据（1）问的图象可得结论．

解答 解：（1）∵|k|=2，
∴k=2或-2，
∴y=2（x-1）（x+2）=2x²+2x-4或y=-2（x+1）（x+2）=-2x²-6x-4，
图象如右图：
（2）∵k₁＜k₂且k₁+k₂=0，k₁≠0，k₂≠0，
∴k₂=-k₁，
∴k₂＞0，k₁＜0，
∴${y}_{2}{=}_{{k}_{2}}（x-\frac{2}{{k}_{2}}）（x+2）$=-k₁（x+$\frac{2}{{k}_{1}}$）（x+2），
顶点坐标为：（-$\frac{1}{{k}_{1}}$-1，${k}_{1}-2+\frac{1}{{k}_{1}}$），
与x轴交点为：（-$\frac{2}{{k}_{1}}$，0），（-2，0），
由${y}_{1}{=}_{{k}_{1}}（x-\frac{2}{{k}_{1}}）（x+2）$知，顶点坐标为：（$\frac{1}{{k}_{1}}$-1，-$\frac{1}{{k}_{1}}-2-{k}_{1}$），与x轴交点为：（$\frac{2}{{k}_{1}}$，0），（-2，0），
∵|k₁|=|k₂|，
∴y₂的图象可由y₁的图象变换得到，
即y₁向右平移-$\frac{2}{{k}_{1}}$（因为k₁＜0，-$\frac{2}{{k}_{1}}$＞0）个单位，再向上平移4个单位后，再沿x轴翻折（关于x轴对称）可得y₂图象；
（3）当x=0时，y₁=-4，y₂=-4，
∵y₁与y₂的交点分别为（-2，0）和（0，-4），
∴当y₁＜y₂时，x＜-2或x＞0．

点评 本题考查了二次函数的性质和平移变换，有难度，第二问分别求出两函数的顶点坐标是关键，第三问利用数形结合的思想解决问题．