Question

20．如图，点A在∠B的边BG上，AB=5，sin∠B=$\frac{3}{5}$，点P是∠B的边BH上任意一点，连接AP，以AP为直径画⊙O交BH于C点． 若BP=$\frac{25}{4}$，求证：BG与⊙O相切．

Answer 1

分析 根据圆周角定理得出∠ACP=90°，求出∠ACB=90°，求出AC=3，BC=4，计算求出$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BP}{AB}$=$\frac{5}{4}$，根据相似三角形的判定得出△BCA∽△BAP，根据相似求出∠BAP=90°，根据切线的判定得出即可．

解答 证明：∵AP为⊙O的直径，
∴∠ACP=90°，
∴∠ACB=90°，
∵AB=5，sin∠B=$\frac{3}{5}$，
∴AC=3，BC=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵BP=$\frac{25}{4}$，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BP}{AB}$=$\frac{5}{4}$，
∵∠B=∠B，
∴△BCA∽△BAP，
∴∠BCA=∠BAP，
∵∠BCA=90°，
∴∠BAP=90°，
∴PA⊥AB，
∵PA过圆心O，
∴BG与⊙O相切．

点评 本题考查了解直角三角形，切线的判定，相似三角形的性质和判定的应用，能求出∠BAP=90°是圆的切线，注意：经过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线．