Question

12．如图，直线y=-$\frac{3}{4}x+3$与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，-1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小是$\frac{\sqrt{231}}{5}$．

Answer 1

分析 过点C作CP⊥直线AB与点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ，利用角的正弦求出CP的值，再根据勾股定理即可求出PQ的长度．

解答 解：过点C作CP⊥直线AB于点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ，如图所示．
当x=0时，y=3，
∴点B的坐标为（0，3）；
当y=0时，x=4，
∴点A的坐标为（4，0）．
∴OA=4，OB=3，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∴sinB=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{4}{5}$．
∵C（0，-1），
∴BC=3-（-1）=4，
∴CP=BC•sinB=$\frac{16}{5}$．
∵PQ为⊙C的切线，
∴在Rt△CQP中，CQ=1，∠CQP=90°，
∴PQ=$\sqrt{C{P}^{2}-C{Q}^{2}}$=$\frac{\sqrt{231}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{231}}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质、三角函数以及勾股定理，解题的关键是确定P、Q点的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，借助于切线的性质寻找到PQ取最小值时点P、Q的位置是关键．