Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=

1

2

∠CAB．
（1）求证：BE=CE；
（2）求证：直线BF是⊙O的切线；
（3）若AB=10，sin∠CBF=

5

5

，求阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,等腰三角形的性质,勾股定理,扇形面积的计算,锐角三角函数的定义

专题：综合题

分析：（1）由AB是⊙O的直径可得AE⊥BC，然后根据等腰三角形的性质就可证到BE=CE．
（2）由等腰三角形的性质可得∠BAE=

1

2

∠CAB，从而得到∠BAE=∠CBF，进而可以证到∠ABF=90°，就可得到直线BF是⊙O的切线．
（3）利用三角函数可求出BE的长，再根据勾股定理可求出AE的长，然后用半圆OAB的面积减去△AEB的面积就可得到阴影部分的面积．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，即AE⊥BC．
∵AB=AC，
∴BE=CE．

（2）证明：∵AB=AC，AE⊥BC，
∴∠BAE+∠ABE=90°，∠BAE=

1

2

∠CAB． 
∵∠CBF=

1

2

∠CAB，
∴∠BAE=∠CBF．
∴∠CBF+∠ABE=90°，即∠ABF=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．

（3）解：∵sin∠CBF=

5

5

，∠BAE=∠CBF，
∴sin∠BAE=

5

5

．
∵∠AEB=90°，AB=10，
∴BE=AB•sin∠BAE=10×

5

5

=2

5

．
∵∠AEB=90°，
∴AE=

AB2-BE2

=4

5

．
∴S_阴影=S_半圆A0B-S_△ABE=

1

2

π(

AB

2

)2-

1

2

AE•BE=

1

2

π(

10

2

)2-

1

2

×2

5

×4

5

=

25π

2

-20．
∴阴影部分的面积为

25π

2

-20．

点评：本题考查了切线的判定、直径所对的圆周角、等腰三角形的性质、三角函数的定义、勾股定理、扇形的面积等知识，有一定的综合性．