Question

如图，正方形ABCD的边长为a，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，求△CEF的周长．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：计算题

分析：先根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=∠B=90°，根据旋转的定义，把△ADF绕点A顺时针旋转90°可得到△ABG，根据旋转的性质得AG=AF，BG=DF，∠GAF=90°，∠ABG=∠B=90°，于是可判断点G在CB的延长线上，接着利用“SAS”证明在△EAG≌△EAF，得到EG=EF=BE+DF，然后利用三角形周长的定义得到△CEF的周长=CE+CF+BE+DF=CB+CD=2a．

解答：解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠B=90°，
∴把△ADF绕点A顺时针旋转90°可得到△ABG，如图，
∴AG=AF，BG=DF，∠GAF=90°，∠ABG=∠B=90°，
∴点G在CB的延长线上，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAG=∠GAF-∠EAF=45°，
∴∠EAG=∠EAF，
在△EAG和△EAF中，

AE=AE ∠EAG=∠EAF AG=AF

，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴EG=EF，
而EG=BE+BG=BE+DF，
∴EF=BE+DF，
∴△CEF的周长=CE+CF+BE+DF=CB+CD=a+a=2a．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．