题目内容
如图，AB为⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，C是圆上一点．
（1）如图1，若∠DBC=24°，求∠A的度数；
（2）如图2，CE平分∠ACB与⊙O交于点E，若BC=2，AC=4，求AE的长．
（1）如图1，若∠DBC=24°，求∠A的度数；
（2）如图2，CE平分∠ACB与⊙O交于点E，若BC=2，AC=4，求AE的长．
考点：切线的性质
专题：
分析：（1）根据切线的性质可知：∠ABC是直角，所以∠ABC可求，进而可求∠A的度数；
（2）连接BE，根据圆周角定理可知△ACB和△AEB是直角三角形，所以AB可求，又因为BE=AE，所以根据勾股定理即可求出AE的长．
（2）连接BE，根据圆周角定理可知△ACB和△AEB是直角三角形，所以AB可求，又因为BE=AE，所以根据勾股定理即可求出AE的长．
解答：解：（1）∵BD与⊙O相切于点B，
∴∠ABD=90°，
∵∠DBC=24°，
∴∠ABC=66°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∴∠A=90°-66°=24°；
（2）连接BE，
在Rt△ACB中，BC=2，AC=4，
∴AB=
，
∵CE平分∠ACB与⊙O交于点E，
∴
=
，∴AE=BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE=
=
．
∴∠ABD=90°，
∵∠DBC=24°，
∴∠ABC=66°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∴∠A=90°-66°=24°；
（2）连接BE，
在Rt△ACB中，BC=2，AC=4，
∴AB=
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∵CE平分∠ACB与⊙O交于点E，
∴
 |
| AE |
|
| BE |
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE=
| AB2-BE2 |
| 10 |
点评：本题考查了切线的性质．圆周角定理以及推论的运用、勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等．
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