Question

如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在BC，CD边上，且CE=DF，BF与DE交于点G．若BG=2，DG=3，则四边形ABGD的面积为

 

．

Answer 1

考点：菱形的性质

专题：

分析：首先利用菱形的性质得出AB=AD，又由AB=BD得出△ABD是等边三角形，进一步证明△CDE≌△DBF，得出∠BGE=∠DGF=60°，证得四边形ABGD是圆内接四边形，过点A再分别作AM⊥DE，AN⊥BF，证明△ABN≌△ADM，把四边形ABGD的面积转化为四边形AMGN的面积即可．

解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
又∵AB=BD
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=∠ABD=60°
∴∠DBC=∠BDF=∠C=60°
在△CDE和△DBF中，

CD=DB ∠C=∠BDF CE=DF

∴△CDE≌△DBF（SAS）
∴∠CDE=∠DBF
∴∠GBE=∠BDE
∴∠DBF+∠GBE=∠DBF+∠BDE=∠BGE=∠DGF=60°=∠BAD
∴四边形ABGD是圆内接四边形，
∴∠BGD=120°
如图，过点A分别作AM⊥DE，AN⊥BF，垂足分别为M、N

∵AG是角平分线，
∴AN=AM，
在Rt△ABN和Rt△ADM中，

AN=AM AB=AD

∴Rt△ABN≌Rt△ADM（HL）
∴BN=DM
∴GN+GM=BG+DG=2+3=5
连接AG，
在Rt△AGN和Rt△AGM中

AN=AM AG=AG

∴Rt△AGN≌Rt△AGM（HL）
∴NG=MG=

1

2

（BG+DG）=

5

2

，∠AGN=

1

2

∠BGD=60°
∴AN=NG•tan∠AGN=

5

2

3

∴S_{四边形ABGD}=S_{四边形ANGM}．
S_{四边形ABGD}=2S_△AGN，=2×

1

2

×NG×AN=

5

2

×

5

2

3

=

25 3

4

．
故答案为：

25 3

4

．

点评：此题考查菱形的性质，等边三角形的判定，三角形全等的判定与性质，圆内接四边形的判定与性质等知识点．