Question

17．观察下列一组等式的化简．然后解答后面的问题：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{1×（\sqrt{2}-1）}{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$-1；
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{1×（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\frac{1×（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}$=2-$\sqrt{3}$…
（1）在计算结果中找出规律$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$（n表示大于0的自然数）
（2）通过上述化简过程，可知 $\sqrt{11}$-$\sqrt{10}$＜$\sqrt{12}$-$\sqrt{10}$（填“＞”、“＜”或“=”）．

Answer 1

分析 （1）根据题意归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（2）利用作差法比较即可．

解答 解：（1）根据题意得：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）∵（$\sqrt{11}$-$\sqrt{10}$）-（$\sqrt{12}$-$\sqrt{10}$）=$\sqrt{11}$-$\sqrt{10}$-$\sqrt{12}$+$\sqrt{10}$=$\sqrt{11}$-$\sqrt{12}$＜0，
∴$\sqrt{11}$-$\sqrt{10}$＜$\sqrt{12}$-$\sqrt{10}$，
故答案为：＜

点评 此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．