Question

6．在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点D、E分别在AB、BC边上，且DE∥AC．
（1）问：$\frac{CE}{AD}$=$\frac{1}{2}$；
（2）若△BDE绕点B逆时针旋（如图2），试求$\frac{C{E}_{1}}{A{D}_{1}}$的值；
（3）若△BDE绕点B逆时针旋转α角度（0°＜α≤180°）在旋转过程中，点D的对应点为D₁，点E的对应点为E₁，设直线D₁E₁与直线AB交于M，与直线AC交于N，是否存在这样的α使得三角形AMN为等腰三角形？若存在．直接写出α的度数；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据含30°的直角三角形的三边的关系，再直接代入求解即可，
（2）先由旋转和含30°的直角三角形的三边关系，得出$\frac{B{E}_{1}}{BC}=\frac{B{D}_{1}}{BD}$，从而判断出△BCE₁∽△BAD₁，即可；
（3）按边分AM=AN，MN=AM，MN=AN三种情况画出图形讨论计算即可．

解答 解：（1）在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，
∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠A=30°，
∴BD=2BE；
∴$\frac{CE}{AD}=\frac{BC-BE}{AB-BD}$=$\frac{BC-BE}{2BC-2BE}$=$\frac{1}{2}$，
故答案为$\frac{1}{2}$；
（2）由旋转有，BD₁=2BE₁，
由（1）知，AB=2BC，
∴$\frac{B{E}_{1}}{BC}=\frac{B{D}_{1}}{BD}$
由旋转知，∠CBE₁=∠ABD₁，
∴△BCE₁∽△BAD₁，
∴$\frac{C{E}_{1}}{A{D}_{1}}=\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
（3）如图1，

当MN=MA时，∠N=∠A=30°，
∴∠AMN=180°-∠A-∠N=120°，
∵∠BD1E1=90°，
∴∠MBD₁=30°
∵∠ABC=60°
∴α=∠CBD₁=∠ABC-∠MBD₁=60°-30°=30°；
如图2，

当AM=AN时，∠ANM=∠AMN=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=75°，
∵∠BD₁M=90°，
∴∠ABD₁=15°，
∵∠ABC=60°
∴α=∠CBD₁=∠ABC+∠ABD₁=75°，
如图3，

当NM=NA时，∠AMN=∠A=30°，
∵∠BD₁M=90°，
∴∠ABD₁=60°，
∵∠ABC=60°
∴α=∠ABC+∠ABD₁=120°，
∴三角形AMN为等腰三角形的α为30°，75°，120°．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了含30°的直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解本题的根据是表示出含30°的直角三角形的三边的关系，作出图形是解本题的难点．