Question

10．已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=6，点P是射线AD上的点，BP交AC于点E，∠CBP的角平分线交AC于点F，且CF=$\frac{1}{3}$AC时．求AP+BP的值．

Answer 1

分析 延长BF交射线AP于M，根据AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出AP+BP=AM，再根据AC=$\frac{1}{3}$CF求出AE=2CF，然后根据△MAF和△BCF相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．

解答 解：如图，延长BF交射线AP于M，
∵AD∥BC，
∴∠M=∠CBM，
∵BF是∠CBP的平分线，
∴∠PBM=∠CBM，
∴∠M=∠PBM，
∴BP=PM，
∴AP+BP=AP+PM=AM，
∵CF=$\frac{1}{3}$AC，则AF=2CF，
由AD∥BC得，△MAF∽△BCF，
∴$\frac{AM}{BC}=\frac{AF}{CF}$=2，
∴AM=2BC=2×6=12，
即AP+BP=12．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BF构造出相似三角形，求出AP+BP=AM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．