Question

12．如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=5，CD=3，则BD的长为2$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 根据旋转的性质得到AE=AD，∠EAD=120°，CE=BD，连接DE，过A作AH⊥DE于H，根据等腰三角形的性质得到DH=EH，∠ADH=30°，推出∠CDE=90°，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：把△ABD绕着得A顺时针旋转120°得到△ACE，
则AE=AD，∠EAD=120°，CE=BD，
连接DE，过A作AH⊥DE于H，
∴DH=EH，∠ADH=30°，
∵AD=5，
∴DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴DE=5$\sqrt{3}$，
∵∠ADC=60°，
∴∠CDE=90°，
∴CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{21}$．
∴BD=CE=2$\sqrt{21}$，
故答案为：2$\sqrt{21}$．

点评 本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．