Question

2．如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F
（1）求证：∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC；
（2）若BC=4，AC=5，AB=6，求AD、BE、CF的长；
（3）若BC=a，AC=b，AB=c，当∠C=90°时，求内切圆的半径长．

Answer 1

分析 （1）如图，连接OB，OC，根据角平分线的性质得到∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，由三角形的内角和得到∠ABC+∠ACB=180°-∠A，等量代换即可得到结论；
（2）根据切线的性质得到AD=AF，BD=BE，CE=CF，列方程组即可得到结论；
（3）由（2）的结论即可得到结果．

解答 解：（1）如图，连接OB，OC，
∵⊙O内切于△ABC，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC；

（2）∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，
∴AD+BD=6，AF+CF=5，BE+CE=4，
∵AD=AF，BD=BE，CE=CF，
∴设AD=AF=x，BD=BE=y，CE=CF=z，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=6}\\{x+z=5}\\{y+z=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=3.5}\\{y=2.5}\\{z=1.5}\end{array}\right.$，
∴AD=3.5，BE=2.5，CF=1.5；

（3）由（2）可知：BE=$\frac{1}{2}$（c-b+a），CE=r=$\frac{1}{2}$（a+b-c），
即内切圆的半径为$\frac{1}{2}$（a+b-c）．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的内角和，切线的性质，解方程组，熟练掌握切线的性质是解题的关键．