Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C=30°，CD=12，求⊙O的直径．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可．此题可运用三角形的中位线定理证OD∥AC，因为DE⊥AC，所以OD⊥DE．
（2）连接AD，得出∠ADB=∠ADC=90°，解直角三角形求出AD，求出∠B=∠ODB=∠C=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．

解答：（1）证明：连接OD．
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC，
∴∠CED=∠ODE，
∵DE⊥AC，
∴∠CED=∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，OD是圆的半径，
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵CD=12，∠C=30°，
∴AD=CD×tan30°=12×

3

3

=4

3

，
∵OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=30°，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB=30°，
∵在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=30°，AD=4

3

，
∴AB=2AD=8

3

，
即⊙O的直径是8

3

．

点评：本题考查了切线的判定，含30度角的直角三角形性质，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，注意：要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．