Question

如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE=CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F，连接BE．
（1）求证：DF=AE；
（2）当AB=2时，求BE²的值．

Answer 1

考点：正方形的性质,角平分线的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）连接CF，根据“HL”证明Rt△CDF和Rt△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=EF，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠EAF=45°，求出△AEF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AE=EF，然后等量代换即可得证；
（2）根据正方形的对角线等于边长的

2

倍求出AC，然后求出AE，过点E作EH⊥AB于H，判断出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH=

2

2

AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：（1）证明：如图，连接CF，
在Rt△CDF和Rt△CEF中，

CF=CF CE=CD

，
∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL），
∴DF=EF，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠EAF=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=EF，
∴DF=AE；

（2）解：∵AB=2，
∴AC=

2

AB=2

2

，
∵CE=CD，
∴AE=2

2

-2，
过点E作EH⊥AB于H，
则△AEH是等腰直角三角形，
∴EH=AH=

2

2

AE=

2

2

×（2

2

-2）=2-

2

，
∴BH=2-（2-

2

）=

2

，
在Rt△BEH中，BE²=BH²+EH²=（

2

）²+（2-

2

）²=8-4

2

．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键．