Question

4．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF⊥直线CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE=CG；
（2）直线BF⊥直线CE于点F，直线AH⊥直线CE于点H，交CD的延长线于点M（如图②），找出图中与BE相等的线段，并证明．

Answer 1

分析 （1）根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，且CD为斜边上的中线，利用三线合一得到CD垂直于AB，且CD为角平分线，得到∠CAE=∠BCG=45°，再利用同角的余角相等得到一对角相等，AC=BC，利用ASA得到三角形AEC与三角形CGB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）由等腰三角形的性质得出∠ACD=∠BCD=∠CBE=45°，利用AAS得到三角形BCE与三角形CAM全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．

解答 （1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠BCG}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\\{∠ACE=∠CBG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE=CG；
（2）解：CM=BE；理由如下：
∵AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，
∴CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠CBE=45°，
∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC，
在△BCE和△CAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMA=∠BEC}&{\;}\\{∠ACM=∠CBE}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CAM（AAS），
∴BE=CM．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等三角形是解本题的关键．