如图.已知在长方形ABCD中.AD=10.CD=5.点E从点D出发.沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动.同时点F从点C出发.沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动.当B.E.F三点共线时.两点同时停止运动.此时BF⊥CE．设点E移动的时间为t(秒)．(1)试用含t的代数式表示EF和CE,(2)求当t为何值时.两点同时停止运动,(3)求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．

如图，已知在长方形ABCD中，AD=10，CD=5，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，当B、E、F三点共线时，两点同时停止运动，此时BF⊥CE．设点E移动的时间为t（秒）．
（1）试用含t的代数式表示EF和CE；
（2）求当t为何值时，两点同时停止运动；
（3）求当t为何值时，EC是∠BED的平分线；
（4）求当t为何值时，△EFC是等腰三角形．（直接写出答案）

分析（1）利用运动特点表示出线段，再由勾股定理即可；
（2）由勾股定理计算即可；
（3）由矩形的性质，得AD∥BC，和EC是∠BED的平分线，判断出BE=BC即可；
（4）△EFC是等腰三角形时，分三种情况讨论（点E，C，F分别为顶点）建立方程即可．

解答解：（1）

当0＜t≤2.5时，如图1，
在长方形ABCD中，AD=10，CD=5，
∴∠ADC=90°
根据题意有DE=t，FC=5-2t，
∴DF=5-2t，
根据勾股定理得，EF²=DE²+DF²，CE²=DE²+CD²
∴EF=$\sqrt{{t}^{2}+（5-2t）^{2}}$，CE=$\sqrt{{t}^{2}+25}$，
当2.5＜t≤5时，如图2，

根据题意有DE=t，FC=2t-5，
∴EF=$\sqrt{{t}^{2}+（5-2t）^{2}}$，CE=$\sqrt{{t}^{2}+25}$，
（2）两点同时停止运动，则有BF⊥CE，如图3

在Rt△FEC中，有EF²+EC²=FC²，
∴t²+（2t-5）²+t²+52=（2t）²，
∴t=5；
（3）当EC是∠BED的平分线时，
∴∠BEC=∠DEC，
在长方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BE=BC，
在Rt△ABE中，AB²+AE²=BE²，
∴25+（10-t）²=100，
∴t=10-5$\sqrt{3}$或t=10+5$\sqrt{3}$（舍），
∴t=10-5$\sqrt{3}$；
（4）当△EFC是等腰三角形时，
①E是顶点，
∴CE=EF，
∴$\sqrt{{t}^{2}+（5-2t）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+25}$，
∴t=5或t=0（舍）
②C为顶点时
∴CE=CF，
∴$\sqrt{{t}^{2}+25}$=2t，
∴t=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$或t=-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$（舍），
③F为顶点时，
∴EF=CF，
∴$\sqrt{{t}^{2}+（5-2t）^{2}}$=2t
∴t=10-5$\sqrt{3}$ 或t=10+5$\sqrt{3}$（舍）
△EFC是等腰三角形时，t=5或t=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$或t=10-5$\sqrt{3}$．