Question

3．如图，在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD，其中A（0，0），B（m，0），D（0，n），m是最接近$\sqrt{65}$的整数，n是16的算术平方根，若将△ABC沿矩形对角线AC所在直线翻折，点B落在点E处，AE与边CD相交于点M．
（1）求AC的长；
（2）求△AMC的面积；
（3）求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用算术平方根求出m，n，从而确定出点B，C，D的坐标，即可；
（2）由折叠有∠ABC=∠E=∠ADC，和对顶角判断出△ADM≌△CEM，然后在直角三角形ADM中利用勾股定理计算即可；
（3）由射影定理得，CE²=CF×CM，直角三角形的面积的两种计算得到ME×CE=CM×EF，求出EF，FC即可．

解答 解：（1）∵m是最接近$\sqrt{65}$的整数，
∴m=8，
∵n是16的算术平方根，
∴n=4，
∴B（8，0），D（0，4），
∵点C矩形ABCD的一个顶点，
∴C（8，4），
∴AB=8，BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
（2）由折叠有，CE=AD=BC=4，AE=AB=8，
设DM=x则CM=8-x，
∵∠ADM=∠CEM，∠AMD=∠CME，
∴△ADM≌△CEM，
∴AM=CM=8-x，ME=MD，
在Rt△ADM中，AD=4，DM=x，AM=8-x，
根据勾股定理有：AD²+DM²=AM²，
即：16+x²=（8-x）²，
∴x=3，
∴DM=3，CM=5，
∴S_△AMC=$\frac{1}{2}$CM×AD=$\frac{1}{2}$×5×4=10，
（3）过点E作EF⊥CD，如图，

由（2）有，CM=5，CE=4，ME=DM=3
在Rt△CEM中，由射影定理得，CE²=CF×CM，
∴16=CF×5，
∴CF=$\frac{16}{5}$，
∵ME×CE=CM×EF（直角三角形的面积的两种计算），
∴EF=$\frac{ME×CE}{CM}$=$\frac{12}{5}$，
∴DF=CD-CF=$\frac{24}{5}$，BC+EF=$\frac{32}{5}$，
∴E（$\frac{24}{5}$，$\frac{32}{5}$）

点评 此题是四边形综合题，主要考查了算术平方根，勾股定理，折叠的性质，证明△ADM≌△CEM和在Rt△ADM计算出DM是解本题的关键，计算CF，EF是本题的难点．