题目内容
7．
如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8．动点P从点B出发沿BC方向，以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CD方向，以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动，当其中一个点到达终点后即都停止运动．过点Q作QM∥AC交AD于点M，连接PM，PQ．设点P的运动时间为t秒，△PQM的面积为s．（1）求当t为何值时，PQ∥BD；
（2）求S与t之间的函数关系式，并确定自变量t的取值范围；
（3）在运动过程中是否存在某一时刻t，使△PQM的面积与矩形ABCD面积的比等于9：32？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
分析 （1）根据矩形的性质、相似三角形的判定和性质得到比例式，计算即可；
（2）根据相似三角形的性质求出AM，根据矩形的面积公式、梯形的面积公式以及三角形的面积公式计算即可；
（3）根据题意列出一元二次方程，解方程即可．
解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，CD=AB=6
∵PQ∥BD，
∴∠DBC=∠QPC，∠CDB=∠CQP，
∴△CBD∽△CPQ
∴$\frac{CP}{CB}$=$\frac{CQ}{CD}$，即$\frac{8-t}{8}$=$\frac{t}{6}$，
解得，t=$\frac{24}{7}$，
∴当t=$\frac{24}{7}$时，PQ∥BD；
（2）∵MQ∥AC，
∴△ACD∽△MQD，
∴$\frac{AD}{DM}$=$\frac{DC}{CQ}$，即$\frac{8}{8-AM}$=$\frac{6}{6-t}$，
解得，AM=$\frac{4}{3}$t，
由题意，S=矩形ABCD的面积-梯形ABPM的面积-△DMQ的面积-△PCQ的面积
=6×8-$\frac{1}{2}×$（t+$\frac{4}{3}$t）×6-$\frac{1}{2}×$（8-t）×t-$\frac{1}{2}×$（8-$\frac{4}{3}$t）（6-t）
=-$\frac{1}{6}$t2-3t+24，
自变量t的取值范围是0≤t≤6；
（3）由题意得，-$\frac{1}{6}$t2-3t+24=$\frac{9}{32}$×48，
整理得，t2+18t-63=0，
解得，t1=3，t2=-21（不合题意，舍去），
∴当t=3秒时，△PQM的面积与矩形ABCD面积的比等于9：32．
点评 本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质，二次函数解析式的确定，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理、理解矩形的四个角都是直角是解题的关键．
| A． | $\sqrt{12}$-$\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{18}$-$\sqrt{8}$ | C． | $\sqrt{8{a}^{2}}$+$\sqrt{2a}$ | D． | $\sqrt{{x}^{2}y}$+$\sqrt{x{y}^{2}}$ |
| A． | -3 | B． | 3 | C． | $\frac{1}{3}$ | D． | ±3 |
如图，是某种工件和其俯视图，则此工件的左视图是（ ）| A． |  | B． |  | C． |  | D． |  |
如图，已知在长方形ABCD中，AD=10，CD=5，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，当B、E、F三点共线时，两点同时停止运动，此时BF⊥CE．设点E移动的时间为t（秒）．| A． | 9 | B． | -9 | C． | ±9 | D． | 81 |