Question

11．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（2，0），抛物线的对称轴x=-1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形BOCF的面积最大，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得m的值，再根据自变量与函数值的对应关系，可得F点坐标；
（3）根据平行四边形的对边相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）由A、B关于对称轴对称，A点坐标为（2，0），得
B（-4，0）．
将A、B、C点的坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4；
（2）如图1，
设BC的解析式为y=kx+b，将B、C点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
BC的解析式为y=x+4．
G在BC上，D在抛物线上，得
G（m，m+4），F（m，-$\frac{1}{2}$m²-m+4）．
FG=-$\frac{1}{2}$m²-m+4-（m+4）=-$\frac{1}{2}$m²-2m．
S_{四边形BOCF}=S_△BOC+S_△BCF=$\frac{1}{2}$BO•OC+$\frac{1}{2}$FG•BO
=$\frac{1}{2}$×4×4+$\frac{1}{2}$×4（-$\frac{1}{2}$m²-2m）
=8+2[-$\frac{1}{2}$（m+2）²+2]
当m=-2时，四边形BOCF的面积最大是12，
当m=-2时，-$\frac{1}{2}$m²-m+4=4，即F（-2，4）；
（3）如图2，
当x=-1时，y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4=$\frac{9}{2}$，即D（-1，$\frac{9}{2}$）
y=x+4=3，即E（-1，3）．
DE=$\frac{9}{2}$-3=$\frac{3}{2}$．
P在直线BC上，Q在抛物线上，得
P（m，m+4），Q（m，-$\frac{1}{2}$m²-m+4）．
PQ=-$\frac{1}{2}$m²-m+4-（m+4）=-$\frac{1}{2}$m²-2m．
由以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，得
DE=PQ，即-$\frac{1}{2}$m²-2m=$\frac{3}{2}$，
解得m=-1（不符合题意，舍），m=-3．
当m=-3时，y=m+4=1，
即P（-3，1）．
以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标（-3，1）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等的两点关于对称轴对称得出B点坐标是解题关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键；利用平行四边形的对边相等得出关于m的方程是解题关键．