Question

10．如图，四边形ABCD和GBHD都是平行四边形，G，H分别在AB，CD边上，连接AC分别交DG，BH于点F，M，过F作FE∥AD交CD于E．若$\frac{DE}{EC}$=$\frac{2}{5}$．
（1）求证：AF=CM；
（2）求$\frac{FM}{AC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出得出$\frac{AF}{AC}$=$\frac{2}{7}$，由平行四边形的性质得出AB∥CD，DG∥BH，AB=CD，BG=DH，得出CH=AG，△AGF∽△CDF，△CHM∽△ABM，得出对应边成比例$\frac{AG}{CD}=\frac{AF}{FC}$=$\frac{2}{5}$，$\frac{CM}{AM}=\frac{CH}{AB}$=$\frac{2}{5}$，$\frac{AF}{AC}$=$\frac{CM}{AC}$，即可得出结论；
（2）由AF=CM和比例的性质即可得出结果．

解答 （1）证明：∵FE∥AD，
∴$\frac{AF}{FC}$=$\frac{DE}{EC}$=$\frac{2}{5}$，∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{2}{7}$，
∵四边形ABCD和GBHD都是平行四边形，
∴AB∥CD，DG∥BH，AB=CD，BG=DH，
∴CH=AG，△AGF∽△CDF，△CHM∽△ABM，
∴$\frac{AG}{CD}=\frac{AF}{FC}$=$\frac{2}{5}$，$\frac{CM}{AM}=\frac{CH}{AB}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{CM}{AC}$=$\frac{2}{7}$，∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{CM}{AC}$，
∴AF=CM；
（2）∵AF=CM，$\frac{CM}{AC}$=$\frac{2}{7}$，
∴$\frac{FM}{AC}$=$\frac{3}{7}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、比例的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．