Question

16．在数学上，对于两个正数p和q有三种平均数，即算术平均数A、几何平均数G、调和平均数H，其中$A=\frac{p+q}{2}$，$G=\sqrt{pq}$，而调和平均数H满足$\frac{1}{p}-\frac{1}{H}=\frac{1}{H}-\frac{1}{q}$．我们把A、G、H称为p、q的平均数组．
①若p=2，q=6，则A=4，G=2$\sqrt{3}$，H=3．
②根据上述关系，可以推导出A、G、H三者的等量关系G²=AH．
③现在小明手里有一张卡片，上面标有数字$\frac{32}{5}$，另外在一个不透明的布袋中有三个小球，表面分别标有10，8，1，这三个球除了标的数不同外，其余均相同．若从布袋中任意摸出两个小球，求摸出的两个数字与卡片上数字恰好构成平均数组的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程，并求出结果）

Answer 1

分析 （1）将已知条件代入代数式求值即可；
（2）将$A=\frac{p+q}{2}$，$G=\sqrt{pq}$，$\frac{1}{p}-\frac{1}{H}=\frac{1}{H}-\frac{1}{q}$变形后即可确定三者之间的关系；
（3）列树状图将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．

解答 解：（1）∵p=2，q=6，
∴$A=\frac{p+q}{2}$=$\frac{2+6}{2}$=4，$G=\sqrt{pq}$=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$，H=3，
故答案为：4，2$\sqrt{3}$，3；

（2）∵$A=\frac{p+q}{2}$，$G=\sqrt{pq}$，$\frac{1}{p}-\frac{1}{H}=\frac{1}{H}-\frac{1}{q}$，
∴$\frac{2}{H}$=$\frac{p+q}{pq}$，
∴H=$\frac{2pq}{p+q}$=$\frac{{G}^{2}}{A}$，
∴G²=AH；

（3）列树状图如下：

∵一共有6种情况，其中10，8，$\frac{32}{5}$是平均数组，共2种满足条件，
∴P（构成平均数组）=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$．

点评 考查了列表及树状图的方法，解题的关键是根据题意将所有等可能的结果列举出来，难度不大．