Question

3．观察下列等式：
第1个等式：a₁=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）
第2个等式：a₂=$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）
第3个等式：a₃=$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）
第4个等式：a₄=$\frac{1}{7×9}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）
…
请回答下列问题：
（1）按上述等式的规律，列出第5个等式：a₅=$\frac{1}{9×11}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$）
（2）用含n的式子表示第n个等式：a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
（3）求a₁₊ a₂+a₃+a₄+…+a₁₀₀的值．

Answer 1

分析 （1）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1．
（2）运用（1）中变化规律计算得出即可．
（3）运用以上规律裂项求和即可．

解答 解：（1）观察下列等式：
第1个等式：a₁=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）
第2个等式：a₂=$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）
第3个等式：a₃=$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）
第4个等式：a₄=$\frac{1}{7×9}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）
…
则第5个等式：a₅=$\frac{1}{9×11}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$）；
故答案为$\frac{1}{9×11}$，$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$）；

（2）由（1）知，a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
故答案为：$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）；

（3）原式=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{99×101}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{101}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{101}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{100}{101}$
=$\frac{50}{101}$．

点评 此题考查了数字的规律及运用规律计算．寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系．