Question

13．已知x²-3x+1=0，求$\frac{2{x}^{5}-4{x}^{4}+6{x}^{3}-4{x}^{2}+x}{{x}^{2}+1}$+x^-3的值．

Answer 1

分析 已知等式变形得到x²+1=3x，且x+$\frac{1}{x}$=3，代入原式整理后计算即可求出值．

解答 解：∵x²-3x+1=0，
∴x²+1=3x，且x+$\frac{1}{x}$=3，
则原式=$\frac{2{x}^{5}-4{x}^{4}+6{x}^{3}-4{x}^{2}+x}{3x}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$
=$\frac{2}{3}$x⁴-$\frac{4}{3}$x³+2x²-$\frac{4}{3}$x+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$
=$\frac{1}{3}$（2x⁴-4x³+6x²-4x+1）+$\frac{1}{{x}^{3}}$
=$\frac{1}{3}$[2x²（x²+1）+4x²-4x（x²+1）+1]+$\frac{1}{{x}^{3}}$
=$\frac{1}{3}$[2x²•3x+4x²-4x•3x+1]+$\frac{1}{{x}^{3}}$
=$\frac{1}{3}$（6x³-8x²+1）+$\frac{1}{{x}^{3}}$
=2x³-$\frac{8}{3}$x²+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{x}^{3}}$
=x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$+x³-$\frac{8}{3}$x²+$\frac{1}{3}$
=（x+$\frac{1}{x}$）（x²-1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）+x³-$\frac{8}{3}$x²+$\frac{1}{3}$
=3（x²-1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）+x³-$\frac{8}{3}$x²+$\frac{1}{3}$
=3[（x+$\frac{1}{x}$）²-3]+$\frac{1}{3}$x²-x+$\frac{1}{3}$
=18+$\frac{1}{3}$（x²-3x+1）
=18．

点评 此题考查了分式的化简求值，以及负整数指数幂，利用了整体代换的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．