Question

10．已知等腰△ABC中，由顶点A所引BC边上的高线恰好等于BC长的一半，则∠BAC的度数是90°或75°或 15°．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质来分析：①当AD在三角形的内部，②AD在三角形的外部，③BC边为等腰三角形的底边三种情况．

解答 解：分三种情况：①AB=BC，AD⊥BC，AD在三角形的内部，
由题意知，AD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵sin∠B=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠B=30°，∠C=75°，
∴∠BAC=∠C=75°；
②AC=BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，
由题意知，AD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AC，
∵sin∠ACD=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ACD=30°=∠B+∠CAB，
∵∠B=∠CAB，
∴∠BAC=15°；
③AC=BC，AD⊥BC，BC边为等腰三角形的底边，
由等腰三角形的底边上的高与底边上中线，顶角的平分线重合知，点D为BC的中点，
由题意知，AD=$\frac{1}{2}$BC=CD=BD，
∴△ABD，△ADC均为等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠CAD=45°，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAC的度数为90°或75°或15°
故答案为：90°或75°或 15°．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理、三角形的外角的性质；本题要分三种情况讨论：前两种情况为∠BAC为等腰三角形的底角，且AD在三角形内部还是外部；第三种为∠BAC为等腰三角形的顶角；这是正确解答本题的关键．