Question

1．一个圆和等腰三角形ABC的两腰相切，切点是D，E，又和△ABC的外接圆相切于F．求证：△ABC的内心G和D，E在一条直线上．

Answer 1

分析 设∠A=2α，AB=a，表示出AF=$\frac{a}{cosα}$，AK=acosα，KF=$\frac{asi{n}^{2}α}{cosα}$，再设OE=OF=b，表示出AO=$\frac{b}{sinα}$=AF-OF=$\frac{a}{cosα}$-b，再利用锐角三角函数表示即可．

解答 证明：如图，

设∠A=2α，AB=a，由题意，△ABF，△AKB都是直角三角形．
∴AF=$\frac{a}{cosα}$，AK=acosα，KF=AF-AK=a（$\frac{1}{cosα}$-cosα）=$\frac{asi{n}^{2}α}{cosα}$，
设OE=OF=b，
∴AO=$\frac{b}{sinα}$=AF-OF=$\frac{a}{cosα}$-b，
∴b（1+$\frac{1}{sinα}$）=$\frac{a}{cosα}$，
∴b=$\frac{asinα}{（sinα+1）cosα}$，
∴OG=bsinα=$\frac{asi{n}^{2}α}{（sinα+1）cosα}$，
∴AG=AO-GO=$\frac{acosα}{sinα+1}$，
过点G作AC的垂线，
∴GH=AGsinα=$\frac{asinαcosα}{sinα+1}$，
∴GK=OF-KF+OG=$\frac{asinα}{（sinα+1）cosα}$-$\frac{asi{n}^{2}α}{cosα}$+$\frac{asi{n}^{2}α}{（sinα+1）cosα}$=$\frac{asinαcosα}{sinα+1}$=GH，
∴G是三角形内心，
∴D，E，G三点共线．

点评 此题是三角形五心题，主要考查了锐角三角函数的意义，和判断三点共线的方法，解本题的关键是充分利用锐角三角函数的意义，难点是辅助线的作法．