Question

1．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{8}$．

Answer 1

分析 设底边为a，由等腰三角形的周长是底边长的5倍，得出腰长为2a，再作出三角形的高AD和CE，根据三角形的面积公式得到CE=$\frac{BC•AD}{AB}$=$\frac{a•\frac{\sqrt{15}}{2}a}{2a}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$a，然后在直角△ACE中利用正弦函数的定义即可求出sin∠BAC的值．

解答 解：如图，等腰△ABC中，AB=AC，设底边BC为a．
∵等腰三角形的周长是底边长的5倍，
∴腰长为2a，即AB=AC=2a．
作AD⊥BC于D点，CE⊥AB于E点，则BD=$\frac{1}{2}$a，
在Rt△ABD中，AD=$\sqrt{（2a）^{2}-（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$a，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$AB•CE，
∴CE=$\frac{BC•AD}{AB}$=$\frac{a•\frac{\sqrt{15}}{2}a}{2a}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$a，
∴sin∠BAC=$\frac{EC}{AC}$=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}a}{2a}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．
故答案为$\frac{\sqrt{15}}{8}$．

点评 本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的面积，锐角三角函数定义，通过作辅助线构造直角三角形求出腰上的高CE是解题的关键．