Question

16．如图，PA为⊙O的切线，A为切点．过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OC=1，AB=2$\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积S；
（3）若$\frac{OC}{OP}$=$\frac{1}{4}$，求sinE的值．

Answer 1

分析 （1）连接OA，证明△PBO≌△PAO，则∠PBO=∠PAO=90°，于是证明PB为⊙O的切线；
（2）由S_阴影=S_△OAE-S_扇形OAD，分别求出S_△OAE、S_扇形OAD即可；
（3）连接AD，由△ADE∽△POE，求出$\frac{EA}{EP}=\frac{AD}{OP}$，由$\frac{OC}{OP}$=$\frac{1}{4}$，得到EP=2PA，因为PA=PB，所以EP=2PB，进而求出sinE．

解答 解：（1）连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，OP⊥AB于C，
∴BC=CA，PB=PA，
∴△PBO≌△PAO，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴PB为⊙O的切线．
（2）∵OP⊥AB，
∴BC=AC=$\sqrt{3}$，
在Rt△OBC中，由tan∠BOC=$\sqrt{3}$知，∠BOC=60°，
则∠BOA=120°，OB=2，
∴Rt△OAE中，∠AOE=60°，OA=2
∴AE=2$\sqrt{3}$
S_阴影=S_△OAE-S_扇形OAD=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{60}{360}$×π×2²=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π
（3）连接AD，
∵BD是直径，∠BAD=90°，
由（1）知∠BCO=90°，
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴$\frac{EA}{EP}=\frac{AD}{OP}$，
∵AD∥OC，
∴AD=2OC，
∵$\frac{OC}{OP}$=$\frac{1}{4}$，
∴OP=4OC，
设OC=t，则AD=2t，OP=4t
∴$\frac{EA}{EP}$=$\frac{AD}{OP}$=$\frac{1}{2}$，
∴EA=AP，
∴EP=2PA，
∵PA=PB，
∴EP=2PB，
∴sinE=$\frac{PB}{EP}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质；能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键要证某线是圆的切线，对于切线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．