Question

15．我们借助学习“三角形全等的判定”获得的经验与方法，对“全等四边形的判定”进行探究．
规定：
（1）四条边对应相等，四个角对应相等的两个四边形全等．
（2）在两个四边形中，我们把“一条边对应相等”或“一个角对应相等”称为一个条件．
【初步思考】
满足4个条件的两个四边形不一定全等，如边长相等的正方形与菱形就不一定全等．类似地，我们容易知道两个四边形全等至少需要5个条件．
【深入探究】
小莉所在学习小组进行了研究，她们认为5个条件可分为以下四种类型：
Ⅰ一条边和四个角对应相等；
Ⅱ二条边和三个角对应相等；
Ⅲ三条边和二个角对应相等；
Ⅳ四条边和一个角对应相等．
（1）小明认为“Ⅰ一条边和四个角对应相等”的两个四边形不一定全等，请你举例说明．
（2）小红认为“Ⅳ四条边和一个角对应相等”的两个四边形全等，请你结合下图进行证明．
已知：如图，四边形ABCD和四边形A₁B₁C₁D₁中，AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，DA=D₁A₁，∠B=∠B₁．
求证：四边形ABCD≌四边形A₁B₁C₁D₁．
证明：

（3）小刚认为还可以对“Ⅱ二条边和三个角对应相等”进一步分类，他以四边形ABCD和四边形A₁B₁C₁D₁为例，分为以下几类：
①AB=A₁B₁，AD=A₁D₁，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁；
②AB=A₁B₁，AD=A₁D₁，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁，∠D=∠D₁；
③AB=A₁B₁，AD=A₁D₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁，∠D=∠D₁；
④AB=A₁B₁，CD=C₁D₁，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁．
其中能判定四边形ABCD和四边形A₁B₁C₁D₁全等的是①②③（填序号），概括可得一个“全等四边形的判定方法”，这个判定方法是有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等．
（4）小亮经过思考认为也可以对“Ⅲ三条边和二个角对应相等”进一步分类，请你仿照小刚的方法先进行分类，再概括得出一个不同于（3）中所示的全等四边形的判定方法．

Answer 1

分析 （1）可以利用正方形与矩形进行说明；
（2）根据四条边对应相等，和一个角对应相等，结合图形即可写出已知与求证．证明时可以连接AC、A₁ C₁，转化为证明△ABC≌△A₁B₁C₁，和△ACD≌△A₁C₁D₁．即可证得；
（3）根据条件能证明①②③中△ABD≌△A₁B₁D₁（SAS），和△BCD≌△B₁C₁D₁（AAS或ASA），从而利用全等三角形的性质与等式的性质得出两个四边形四条边对应相等，四个角对应相等，因而这两个四边形全等；
（4）写出三条边对应相等，和二个角对应相等分情况进行讨论的情况即可．

解答 解：（1）如正方形与矩形有一条边对应相等，但显然不一定全等． 

（2）已知：如图，四边形ABCD和四边形A₁ B₁ C₁ D₁中，AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，DA=D₁A₁，∠B=∠B₁．
求证：四边形ABCD≌四边形A₁B₁C₁D₁．
证明：连接AC、A₁C₁．
∵AB=A₁B₁，∠B=∠B₁，BC=B₁C₁，
∴△ABC≌△A₁B₁C₁，
∴AC=A₁C₁，∠BAC=∠B₁A₁C₁，∠BCA=∠B₁C₁A₁．
又∵CD=C₁D₁，DA=D₁A₁，
∴△ACD≌△A₁C₁D₁．
∴∠D=∠D₁，∠DAC=∠D₁A₁C₁，∠DCA=∠D₁C₁A₁，
∴∠BAD=∠B₁A₁D₁，∠BCD=∠B₁C₁D₁，
∴四边形ABCD≌四边形A₁B₁C₁D₁；

（3）①②③；   
有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等．

（4）分为四类：
①AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁；
②AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，∠A=∠A₁，∠C=∠C₁；
③AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，∠A=∠A₁，∠D=∠D₁；
④AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，∠B=∠B₁，∠C=∠C₁．
有三条边和这三条边中每一组邻边的夹角对应相等的两个四边形全等．
故答案为（2）四边形ABCD和四边形A₁ B₁ C₁ D₁中，AB=A₁B₁，BC=B₁C₁，CD=C₁D₁，DA=D₁A₁，∠B=∠B₁；四边形ABCD≌四边形A₁B₁C₁D₁；
（3）①②③；有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等．

点评 本题考查了四边形综合题，涉及的知识点有：四边形的全等，三角形全等的判定与性质，解题的关键是注意：多边形的全等可以通过作辅助线转化为证明三角形全等的问题．