题目内容

4．如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒一个单位长度的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=-x2+bx+c经过点O和点P．
（1）求c、b的值．（可以用含有t的代数式表示）
（2）抛物线y=-x2+bx+c与直线x=1和x=5分别交于M、N两点当t＞1时，
①在点P的运动过程中，你认为sin∠MPO的大小是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，求出sin∠MPO的值．
②求△MPN的面积S与t的函数关系式．
③是否存在这样的t值，使得MP∥ON？如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．

分析 （1）把点O和点P的横纵坐标分别代入抛物线解析式，即可求出b，c；
（2）①根据解析式及M的横坐标，求出点M的坐标，求出AM，AP的长度，根据三角函数即可解答；
②求出点N的坐标，分两种情况分别求解：当1＜t≤5时，根据S△MPN=S△APM+S梯形ABNP-S△APM，求出S和t的关系式；当t＞5时，根据S△MPN=S梯形MABN+S△NBP-S△APM，求出S和t的关系式；
③根据平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行，即可求出t的值．

解答 解：（1）由题意可知，点O（0，0），点P（t，0），
∵抛物线y=-x2+bx+c经过点O和点P，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{-{t}^{2}+bt=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=t}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴y=-x2+tx；

（2）当t＞1时，
①sin∠MPO的大小不会变化；
当x=1时，y=t-1，即M（1，t-1），
即AM=t-1，AP=t-1，
即AM=AP，∠PAM=45°，
∴sin∠MPO=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，是定值．
②点x=5时，y=5t-25，即N（5，5t-25），
当1＜t≤5时，如图1，
过点N作NB⊥MA于点B，
S△MPN=S△APM+S梯形ABNP-S△APM
=$\frac{1}{2}$（t-1）2+$\frac{1}{2}$（t-1+4）×（5t-25）-$\frac{1}{2}$（t-1-5t+25）×4，
=-2t2+12t-10，

当t＞5时，如图2，
S△MPN=S梯形MABN+S△NBP-S△APM
=$\frac{1}{2}$（t-1+5t-25）×4+$\frac{1}{2}$（5t-25）（t-5）-$\frac{1}{2}$（t-1）2，
=2t2-12t+10，
即：S=10$\left\{\begin{array}{l}{-2{t}^{2}+12t-10（1＜t≤5）}\\{2{t}^{2}-12t+10（t＞5）}\end{array}\right.$；



③存在；
理由：如图3，
当∠OPM=45°时，要使MP∥ON，需满足∠PON=45°，
即N（5，-5），代入y=-x2+tx得-25+5t=-5．
解得t=4．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，解决第（1）小题的关键是能熟练掌握待定系数法；解决第（2）小题的关键是熟练掌握三角函数、根据整体减部分的方法求三角形的面积、平行线的判定．

练习册系列答案
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【深入探究】
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Ⅱ二条边和三个角对应相等；
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证明：

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②AB=A1B1，AD=A1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠D=∠D1；
③AB=A1B1，AD=A1D1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1；
④AB=A1B1，CD=C1D1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1．
其中能判定四边形ABCD和四边形A1B1C1D1全等的是①②③（填序号），概括可得一个“全等四边形的判定方法”，这个判定方法是有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等．
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九年级学生体育中招成绩统计表
体育成绩（分）人数（人）百分比（%）
46816
4724
4815
49m
50
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（2）请计算被抽测学生的中考体育的平均成绩；
（3）已知该校九年级共有500名学生，如果体育成绩达48分以上（含48分）为优秀，请估计该校九年级学生体育成绩达到优秀的总人数．
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