Question

7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．以AB为直径的⊙O交BC于点E，D为AC的中点．连接DE，BD与OE相交于点F
（1）求证：DE所在的直线为⊙O的切线．
（2）若AB=10，BE=5$\sqrt{3}$，求OF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证AD=DE，证△OAD≌△OED，∠OED=∠OAD=90°即可．
（2）连接AE，根据勾股定理得到AE=5，得到AE=$\frac{1}{2}$AB，由AB是⊙O的直径，得到∠AEB=90°，求得∠ABC=30°，得到BC=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，根据三角形中位线的想知道的OD∥BC，OD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，于是得到OD：BE=OF：EF=2：3；即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OD；如图1所示：
∵O、D分别是AB、AC的中点，
∴OD∥BC，
∴∠AOD=∠ABC，∠DOE=∠BEO；
∵OB=OE，
∴∠AOD=∠DOE，
在△OAD和△OED中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OE}\\{∠AOD=∠DOE}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△OAD≌△OED（SAS），
∴∠OED=∠OAD=90°，DE=AD，
∴DE为⊙O的切线．

（2）解：连接AE，如图2所示：
∵AB=10，BE=5$\sqrt{3}$，
∴AE=5，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABC=30°，
∴BC=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，
∵OD∥BC，OD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
∴OD：BE=OF：EF=2：3；
∵OE=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴OF=2．

点评 本题考查了切线的判定，勾股定理和三角形全等的判定，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点．熟练掌握切线的判定，由勾股定理求出AD是解决问题（2）的关键．