Question

2．已知抛物线y=ax²+bx+c经过Rt△ABC的顶点A（-1，0）、B（4，0），直角顶点C在y轴的正半轴上，若抛物线的顶点在Rt△ABC的内部，则a的取值范围是（　　）

• A． a＞-$\frac{1}{5}$
• B． -$\frac{1}{5}$＜a＜0
• C． a＜$\frac{1}{5}$
• D． 0＜a＜$\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 根据点A、B的坐标求出OA、OB的长，再求出△ACO和△CBO相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OC的长，再根据二次函数的对称性求出对称轴，设对称轴与直线BC相交于P，与x轴交于Q，利用∠ABC的正切值求出点P到x轴的距离PQ，设抛物线的交点式解析式y=a（x+1）（x-4），整理求出顶点坐标，再根据抛物线的顶点在△ABC的内部列式求出a的取值范围即可．

解答 解：如图，

∵点A（-1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
易得△ACO∽△CBO，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OC}{OB}$，
即$\frac{1}{OC}$=$\frac{OC}{4}$，
解得OC=2，
∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0），B（4，0），
∴对称轴为直线x=$\frac{-1+4}{2}$=$\frac{3}{2}$，
设对称轴与直线BC相交于P，与x轴交于Q，
则BQ=4-$\frac{3}{2}$=2.5，
tan∠ABC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{PQ}{BQ}$，
即$\frac{2}{4}$=$\frac{PQ}{2.5}$，
解得PQ=$\frac{5}{4}$，
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4），
则y=a（x²-3x-4）=a（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{4}$a，
∵点C在y轴正半轴时，
∴0＜-$\frac{25}{4}$a＜$\frac{5}{4}$，
解得-$\frac{1}{5}$＜a＜0，
故选：B．

点评 本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，把二次函数的解析式用交点式形式表示更加简便，表示出抛物线的解析式，根据题意得出a的不等式是解题的关键．