Question

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4$\sqrt{3}$，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D，将$\widehat{BD}$绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为$\frac{16}{3}$π-8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用旋转的性质得BD=AD，S_弓形BD=S_弓形AD，再证明△CBD为等边三角形得到∠CBD=∠BCD=60°，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC=4，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积=2S_弓形BD进行计算．

解答 解：∵将$\widehat{BD}$绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，
∴BD=AD，S_弓形BD=S_弓形AD，
∴CD为斜边AB边上的中线，
∴CD=BD=AD，
∵CD=CB，
∴△CBD为等边三角形，
∴∠CBD=∠BCD=60°，
在Rt△ABC中，BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×4$\sqrt{3}$=4，
∴图中阴影部分的面积=2S_弓形BD=2（$\frac{60•π•{4}^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$•4²）=$\frac{16}{3}$π-8$\sqrt{3}$．
故答案为$\frac{16}{3}$π-8$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了扇形面积的计算：阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．