已知AB∥CD.∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．(1)如图1.若∠E=80°.求∠BFD的度数．(2)如图2中.∠ABM=$\frac{1}{3}$∠ABF.∠CDM=$\frac{1}{3}$∠CDF.写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．(3)若∠ABM=$\frac{1}{n}$∠ABF.∠CDM=$\frac{1}{n}$∠CDF.设∠E=m°.直接用� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

18．已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．
（1）如图1，若∠E=80°，求∠BFD的度数．
（2）如图2中，∠ABM=$\frac{1}{3}$∠ABF，∠CDM=$\frac{1}{3}$∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．
（3）若∠ABM=$\frac{1}{n}$∠ABF，∠CDM=$\frac{1}{n}$∠CDF，设∠E=m°，直接用含有n，m°的代数式表示写出∠M=$\frac{360°-m°}{2n}$．

分析（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=280°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=140°，从而得到∠BFD的度数；（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠E，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换，即可；
（3）由（2）的方法可得到2n∠M+∠E=360°，将∠E=m°代入可得$∠M=\frac{360°-m°}{2n}$．

解答解：（1）作EG∥AB，FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴EG∥AB∥FH∥CD，
∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠CDE=180°，
∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°
∵∠BED=∠BEG+∠DEG=80°，
∴∠ABE+∠CDE=280°，
∵∠ABF和∠CDF的角平分线相交于E，
∴∠ABF+∠CDF=140°，
∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=140°；

（2）∵∠ABM=$\frac{1}{3}$∠ABF，∠CDM=$\frac{1}{3}$∠CDF，
∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，
∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，
∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，
∴6∠ABM+6∠CDM+∠E=360°，
∵∠M=∠ABM+∠CDM，
∴6∠M+∠E=360°．

（3）由（2）结论可得，
2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°，∠M=∠ABM+∠CDM，
解得：$∠M=\frac{360°-m°}{2n}$．
故答案为：$∠M=\frac{360°-m°}{2n}$

点评本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．

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