Question

12．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．
（1）求证：CD²=AD•DB；
（2）求证：CB²=DB•AB．

Answer 1

分析 （1）由已知得出∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°，又由公共角相等，证得△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC，则可得△ACD∽△CBD，得出对应边成比例即可；
（2）由△CBD∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得结论．

解答 （1）证明：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，
∴∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°，
∵∠A=∠A，∠B=∠B，
∴△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC，
∴△ACD∽△CBD，
∴CD：BD=AD：CD，
∴CD²=AD•DB；
（2）证明：∵△CBD∽△ABC，
∴CB：AB=DB：CB，
∴CB²=DB•AB．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题比较简单，证明三角形相似是解决问题的关键．